KUANTUM DÜNYASININ FİTİLİ SCHRÖDİNGER DENKLEMİ

GİRİŞ

Klasik fizik, özellikle Newton’un hareket yasaları ve Maxwell’in elektromanyetizma kuramı sayesinde 17. ve 19. yüzyıllar arasında büyük bir başarı elde etmiştir. Gezegenlerin yörüngelerinden mühendislik hesaplarına kadar pek çok olayı kusursuz biçimde açıklayabilmiştir. Ancak bu başarı, yalnızca makro dünyada geçerliydi. Atom altı dünyaya inildiğinde, klasik yasalar yetersiz kalmaya başlıyordu. Örneğin, Newton mekaniği elektronların atom çekirdeği etrafında neden belirli enerji düzeylerinde bulunduğunu açıklayamıyor; klasik elektrodinamik ise, yörüngede dönen bir elektronun sürekli enerji kaybedip çekirdeğe düşmesi gerektiğini öngörüyordu. Bu tür çelişkiler, klasik fiziğin mikro dünyayı açıklama yetisinin sınırlarını net biçimde ortaya koyuyordu.Bununla beraber klasik fiziğe bağlı farklı teoriler ortaya atıldı ama her biri başarısız veya eksiklik barındırıyordu.

Klasik teorilerin başarısız olduğu bu alanlarda yeni bir fizik anlayışına duyulan ihtiyaç, 20. yüzyılın başlarında kuantum devrimini başlattı. Planck’ın enerji kuantumları kavramı, Einstein’ın fotoelektrik olayı açıklaması ve Bohr’un atom modeli, doğanın enerji alışverişlerinin kesintisiz değil, belirli paketler (kuantlar) hâlinde gerçekleştiğini gösterdi. Bu bulgular, maddenin ve enerjinin temel düzeyde olasılıksal ve dalga benzeri davranışlar sergilediğini ortaya koydu. Dolayısıyla doğayı mikroskobik ölçekte anlamak için, deterministik klasik modeller yerine olasılığa dayalı bir kurama geçilmesi zorunlu hâle geldi. İşte bu gereksinim, kuantum fiziğinin doğuşuna zemin hazırladı. 

1926 yılında Erwin Schrödinger, kuantum dünyasını matematiksel olarak açıklamak için dalga mekaniğini geliştirdi. Bu şekilde, dalga fikri matematiksel bir temele oturtularak dalga mekaniği geliştirildi. Böylece, atom içindeki elektronların olası konumlarını ve enerji düzeylerini hesaplamak mümkün hâle geldi[Bu yorumun yapılması çok uzun zaman aldı]. Bu durum fizik dünyasında büyük bir devrime sebep oldu. Bu devrim öyle bir hâl aldı ki, bugün kuantum bilgisayarlardan parçacık fiziğine kadar birçok alanda kendini gösteriyor. Dünyamızın sorunlarını çözmekle kalmıyor, bilim dünyasına da yeni kapılar açıyor. Hadi gelin şu fizikte çağ açıp çağ kapatan Schrödinger denklemine bir bakış atalım.

Erwin Schrödinger Kindir?

Erwin Schrödinger, 1887’de Avusturya’nın Viyana kentinde doğmuş bir fizikçidir. Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olarak tanınır. Özellikle dalga mekaniğini geliştirmiş ve kendi adıyla anılan Schrödinger Denklemini 1926’da ortaya koymuştur. Bu denklem, elektronların davranışlarını olasılık dalgalarıyla açıklayarak modern fiziğe yön vermiştir. Schrödinger, Louis de Broglie’nin madde dalgaları fikrinden etkilenmiş, Max Born ise onun denklemini olasılık yorumu ile tamamlamıştır. Ayrıca Albert Einstein ve Niels Bohr gibi dönemin büyük fizikçileriyle de bilimsel tartışmalara girmiştir. 1933’te Paul Dirac ile birlikte Nobel Fizik Ödülünü almış, yaşamı boyunca fizik ve felsefe arasındaki bağı da sorgulamıştır. 1961’de Viyana’da hayatını kaybetmiştir. Biz de bu yazıda hem denklemi tanıtacağız hem de onun gibi biraz felsefeyi de araya katacağız.

Schrödinger Denklemi Fikri Nasıl Ortaya Çıktı

Bilim insanları elektronlar gibi madde parçacıklarının dalga boylarına sahip olabileceğini ve De Broglie ’de bu dalga boyunu ℏ/p=λ (ℏ = Planck sabiti, p = momentum ve λ = dalga boyudur.) matematiksel formülü ile modellemiştir. Dönemi şartlarında kabul görülmüştür. Fakat bir bilim insanı var ki, şu soruyu sormuş ve denklemi geliştirmiş, fizik dünyasına yeni bir soluk kazandırmıştır.

   “Eğer bu parçacıkların dalga özeliği ve bir dalga boyu varsa tam dalga ne demek oluyor. Bu bahsedilen dalganın özeliği nedir? ”

Schrödinger Denkleminin Açıklanması

Kavramsal olarak biraz garip değil mi? Bir su dalgasının su içerisindeki yukarı, aşağı hareketi sonucu oluştuğunu biliyoruz;veya bir telin yukarı aşağı hareketi sonucu uzayda genişlediğini ve bunun dalga olarak tanımlandığını biliyoruz.Ancak bir elektronun dalga özelliğine sahip olduğunu ve bu dalganın nasıl gözüktüğünü hayal etmek oldukça zor. Dolayısıyla bilim insanları bu durumu açıklamak istiyorlardı. Akıllarında iki şey vardı: ilki bu elektronun dalga boyunu matematiksel olarak tanımlamak. Bu ayrıca dalga fonksiyonu olarak da bilinir. İkincisi bu matematiksel tanıyı fiziksel bilgilerle yorumlamak.

 Ψ(x) (ki bu fonksiyon tanımıyla farklı elektron sistemlerinde farklı dalga boyları gözlemlenir), fonksiyonla ortaya iki sorun çıktı: birincisi, fonksiyonu matematiksel olarak ifade etmekti işte tam da burada ortaya Schrödinger çıktı ve şu denklemi ortaya attı.

(Bu formül yalnızca zamana bağlı olan formüldür.)

Birinci sorunu çözen Schrödinger, ikinci sorun yani ürettiği formülün yorum kısmını da elden geçireyim, diyerek şu yorumu yapmıştır.

     “Belki de bu elektron, uzayda bulanık bir duman gibi bulunuyordu ve yükü farklı bölgelere dağılmıştı,” diye düşündü Schrödinger. Bu nedenle, dalga fonksiyonunu elektronun yük yoğunluğunu gösterecek şekilde yorumlamaya çalıştı. Aslında bu oldukça mantıklı bir açıklamaydı: Bir su dalgasının oluşabilmesi için suyun uzayda yayılması gerekir; benzer şekilde, bir elektron dalgasının var olabilmesi için de elektronun yükünün uzayda dağılması gerekirdi.”

Fakat, bu yorum pek bir işe yaramadı çünkü Schrödinger bu son derece olasılıksal mevzuya deterministik bir bakış açısıyla yaklaştı. Çok garip değil mi?  Bu denklemi matematiksel olarak tanımlayan kişi bile doğru dürüst bir yorum getiremedi. Ancak Max Born adında bir matematikçi, olayın olasılıksal olduğunu anlamış ve bu günümüzde de kullandığımız şu yorumu getirmiştir.

        “Hayır arkadaşlar, bu dalga fonksiyonunu yük yoğunluğu olarak düşünmeyin,” dedi Max Born.“Schrödinger’in denklemi bize elektronun uzayda gerçekten nerede olduğunu göstermez; sadece belirli bir noktada bulunma olasılığını verir. Yani, teknik olarak olasılık yoğunluğunu gösterir.”

Max Born'un bize demek istediği şu:

(Okuyucuya anlam kazandırmak için rastgele ele alınmış bir dalga boyu-konum grafiğidir.)

Görselde x eksenine temas eden yerler olasılık olarak elektronun orada asla bulunamayacağını söyler.

Dalga boyu genliğinin en yüksek olduğu kısım, ise elektronun bulunma olasılığının en yüksek olduğu kısımdır. Yüksek diye, her zaman burada olmaz herhangi bir zaman aralığında ölçüldüğünde sıfır hariç her yede olabilir. Olay tekrar tekrar yapılırsa bulunma olasılığı en fazla olduğu yer dalga boyunun en yüksek olduğu yerdir.

Yani anlayacağınız, dalga fonksiyonu Schrödinger’in dediği gibi yük dalgalanmasını yada tamamen nerede olduğunu değil, nerede olduğunun olasılıksal yoğunluğunun değerini verir.

Buradaki temel kriter, deney sayısını artırarak bulunma olasılığı en yüksek yeri tahlil etmektir. Ayrıca  karesini almamızın nedeni, de dalga boyu eksi değerde olduğunda olasılıksal değerin eksi olmaması durumundan dolayı karesi alınır ki tam anlamıyla olasılık tayini yapılsın.

Dalga Fonksiyonu Gerçekte Ne?”

Ben siz okuyucuların yerinde olsam, şu soruyu sormadan edemezdim: “İyi güzel ama bu yorum hâlâ asıl soruya cevap vermedi: Buradaki dalgalanma tam olarak neyin dalgalanması? Dalga fonksiyonu gerçekten bir su dalgası gibi fiziksel bir şey mi, yoksa bir manyetik dalga gibi mi? Ya da yalnızca elektronun nerede olabileceğini gösteren, tamamen matematiksel bir olasılık yorumu mu?”

Şimdi size bir iyi, bir de kötü haberim var.

Kötü haber şu: Bilim insanları hâlâ bu dalga fonksiyonunun ne anlama geldiği konusunda tam bir fikir birliğine varabilmiş değil. Bu fonksiyon yalnızca tek bir elektronun konumunu mu anlatıyor, yoksa bir grup elektronun olasılık dağılımını mı? Hatta bazı yorumlara göre, dalga fonksiyonu yalnızca bizim ölçüm sistemimizi tanımlıyor, elektronu doğrudan tanımlamıyor bile.

Peki elektronu ölçtüğümüzde ne oluyor? Onu bir noktada buluyoruz ve artık başka bir yerde bulma olasılığımız kalmıyor. Bu durumda Schrödinger denkleminin tanımlamadığı bir “çökme” gerçekleşiyor mu? İşte bu ve benzeri sorular, fizikçiler arasında hâlâ yoğun tartışmalara neden oluyor.

İyi haber şu: Kuantum dünyasında ilerleyebilmek için bu denklemi tam olarak anlamamız şart değil. Çünkü bu denklem, biz anlamasak bile işe yarıyor! Yüzyıllardır gizemini koruyan bu matematiksel yapı sayesinde kuantum bilgisayarlar, parçacık hızlandırıcıları ve hatta tıbbi tedavi teknolojileri gibi devrim niteliğinde gelişmeler mümkün oldu.

Yani Schrödinger’in denklemi, belki de modern fiziğin en büyük paradoksunu barındırıyor: Anlamadan da çalıştırabildiğimiz bir denklem.

KAPANIŞ

Şunu artık net bir şekilde anlıyoruz: Schrödinger denklemi son derece önemli bir yere sahip. Sadece fiziği değil, fiziğin dokunduğu birçok bilimi de derinden etkiliyor.

Ancak ironik bir biçimde, bu denklemi ortaya atan dahi bile onu tam olarak anlamamış ya da farklı bir şekilde yorumlamıştı. Günümüzde kullandığımız yorumları geliştiren bilim insanları dahi, hâlâ dalga fonksiyonunun tam olarak neyi temsil ettiğini açıklamakta zorlanıyor.

Hiç şüphesiz, bu denklemi doğru biçimde yorumlayabilen kişi ya da kişiler, hem fizik hem de matematik tarihinde isimlerini altın harflerle yazdıracak.

Fakat o güne ulaşmak için daha gidecek yolumuz var. Bilim, sabır ve merakla ilerliyor; bu yüzden yılmadan, sorgulamaktan vazgeçmeden çalışmamız gerekiyor.

Kim bilir, belki de Schrödinger’in denklemini gerçekten anlayan o kişi siz olursunuz.

Yazar: Barış Yalçın

KAYNAKÇA

1. Schrödinger, E. (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik, 384(4), 361-376. Bu, Schrödinger'in dalga mekaniğini ve kendi adıyla anılan denklemi ilk kez ortaya koyduğu tarihi makale serisidir.

2. Born, M. (1926). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. Zeitschrift für Physik, 37(12), 863–867. Max Born'un, dalga fonksiyonunun karesinin bir olasılık yoğunluğu olarak yorumlanmasını öne sürdüğü temel makaledir. Bu yorum, kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumunun temel taşlarındandır.

3. Dirac, P. A. M. (1930). The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. Kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonunu titizlikle ortaya koyan, alanın kilometre taşı kitaplarından biridir. Bra-ket notasyonu gibi kavramlar bu eserde sistematize edilmiştir.

4. Griffiths, D. J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd Edition). Pearson Prentice Hall. Modern lisans eğitiminde dünya çapında standart bir ders kitabıdır. Schrödinger denkleminin zamana bağlı ve bağlı formları, çözüm yöntemleri ve fiziksel yorumu bu kitapta ayrıntılı olarak işlenir.

5. Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., & Laloë, F. (1991). Quantum Mechanics, Volume 1: Basic Concepts, Tools and Applications. Wiley-VCH. Konuları derinlemesine ve kapsamlı bir şekilde ele alan, lisansüstü seviyeye de hitap eden bir başvuru kaynağıdır. Dalga fonksiyonunun istatistiksel yorumu ve matematiksel temelleri üzerine mükemmel bir tartışma sunar.

6. de Broglie, L. (1925). Recherches sur la théorie des quanta [On the Theory of Quanta]. Annales de Physique (10th series), 3, 22-128. Louis de Broglie'nin madde dalgaları fikrini (λ = h/p) öne sürdüğü doktora tezidir ve Schrödinger denkleminin geliştirilmesine ilham kaynağı olmuştur.